Euklides: autor Elementów i ojciec geometrii

Euklides z Aleksandrii jest autorem "Elementów" (gr. Stoicheia), jednego z najwybitniejszych i najszerzej oddziałujących dzieł matematycznych w całej historii nauki. Ten grecki matematyk, żyjący prawdopodobnie około 300 roku przed naszą erą, zebrał i usystematyzował całą ówczesną wiedzę geometryczną i arytmetyczną w postaci monumentalnego traktatu liczącego trzynaście ksiąg. "Elementy" są po Biblii najczęściej wydawaną i tłumaczoną książką w historii cywilizacji zachodniej, a ich wpływ na nauczanie matematyki trwał nieprzerwanie przez ponad dwa tysiące lat.

Kim był Euklides? Biografia i kontekst historyczny

Wiedza o życiu Euklidesa jest zaskakująco skromna, biorąc pod uwagę jego ogromne znaczenie dla nauki. Żył i działał w Aleksandrii, wielkim centrum naukowym hellenistycznego świata, prawdopodobnie za panowania Ptolemeusza I Sotera (ok. 323-283 p.n.e.). Starożytna tradycja podaje, że gdy Ptolemeusz zapytał go, czy jest łatwiejsza droga do nauki geometrii niż przez "Elementy", Euklides miał odpowiedzieć: "Nie ma drogi królewskiej do geometrii" (gr. ou esti basilike atarpos epi geometrían).

Euklides był związany z Muzejjonem (Mouseion) aleksandryjskim, ośrodkiem badań naukowych i kulturalnych ufundowanym przez Ptolemeuszy, przy którym działała słynna Biblioteka Aleksandryjska. Działał tam jako nauczyciel i badacz, skupiając wokół siebie uczniów i kontynuatorów swojego dzieła.

Daty urodzin i śmierci Euklidesa są nieznane. Historycy nauki szacują, że urodził się około 365-330 p.n.e. i zmarł około 275-270 p.n.e. Nie należy go mylić z Euklidesem z Megary, filozofem i uczniem Sokratesa, żyjącym około sto lat wcześniej.

Euklides był autorem kilku dzieł matematycznych, z których do naszych czasów przetrwały, oprócz "Elementów": "Data" (katalog twierdzeń geometrycznych), "Optyka" (geometryczna teoria widzenia), "Conics" (traktat o stożkowych, zachowany tylko we fragmentach) oraz "Phaenomena" (astronomia sferyczna).

Struktura "Elementów": trzynaście ksiąg matematyki

"Elementy" są podzielone na trzynaście ksiąg, z których każda poświęcona jest określonej dziedzinie matematyki. Dzieło zaczyna się od fundamentalnych definicji, postulatów i aksjomatów, a następnie przechodzi do coraz bardziej złożonych twierdzeń, z których każde jest ściśle udowodnione na podstawie wcześniej ustalonych faktów.

Geometria płaska (Księgi I-VI)

Pierwsza księga zawiera 23 definicje (punktu, prostej, kąta, figury), 5 postulatów i 5 "notions communes" (aksjomatów wspólnych), a następnie 48 twierdzeń dotyczących podstawowych własności trójkątów i równoległoboków. Wieńczy ją słynne twierdzenie Pitagorasa (twierdzenie I.47) wraz z jego odwrotnością.

Kolejne księgi I-VI rozwijają teorię figur płaskich: trójkątów, czworokątów, okręgów i wielokątów, dochodząc do teorii podobieństwa (Księga VI).

Teoria liczb (Księgi VII-IX)

Trzy księgi poświęcone teorii liczb zawierają klasyczne wyniki arytmetyki. W Księdze VII Euklides wprowadza pojęcie NWD (największego wspólnego dzielnika) i prezentuje słynny algorytm euklidesa wyznaczania NWD dwóch liczb. Księga IX zawiera dowód twierdzenia o nieskończoności zbioru liczb pierwszych, jeden z najpiękniejszych dowodów matematycznych w historii, uznawany za wzór elegancji matematycznej.

Teoria niewymierna i geometria przestrzenna (Księgi X-XIII)

Księga X, najdłuższa w całym dziele, poświęcona jest teorii wielkości niewspółmiernych (irracjonalnych). Euklides klasyfikuje rozmaite rodzaje wielkości niewymiernych z precyzją zadziwiającą jak na epokę, gdy nie istniał jeszcze pojęcie liczby rzeczywistej.

Księgi XI-XIII wkraczają w trójwymiarową geometrię. Omówione są własności wielościanów i brył obrotowych. Dzieło wieńczy Księga XIII poświęcona pięciu bryłom platońskim (czworościan, sześcian, ośmościan, dwunastościan, dwudziestościan) i udowodnieniu, że jest dokładnie pięć takich regularnych wielościanów.

Aksjomatyczna metoda Euklidesa: fundament nauk ścisłych

Najbardziej rewolucyjnym aspektem "Elementów" nie była zawartość poszczególnych twierdzeń, lecz metoda ich prezentacji. Euklides jako pierwszy systematycznie zastosował metodę aksjomatyczno-dedukcyjną do całej gałęzi wiedzy matematycznej. Metoda ta polega na przyjęciu minimalnego zestawu oczywistych założeń (aksjomatów i postulatów), z których następnie wyprowadza się logicznie wszystkie dalsze twierdzenia.

Euklides wyróżnił dwa rodzaje założeń wyjściowych:

• Postulaty geometryczne (5 postulatów) dotyczące specyficznie geometrii: możliwość prowadzenia prostej przez dwa punkty, przedłużania odcinka, rysowania okręgu, równości kątów prostych i słynny piąty postulat o równoległych
• Notions communes (aksjomat) (5 aksjomatów) dotyczące matematyki w ogóle: jeśli a=b i b=c, to a=c; całość jest większa od części; itd.

Piąty postulat Euklidesa, zwany postulatem równoległości, głosi że jeśli prosta przecinająca dwie proste tworzy kąty jednostronne wewnętrzne, których suma jest mniejsza od dwóch kątów prostych, to te dwie proste przetną się po tej właśnie stronie. Jest on równoważny stwierdzeniu: przez punkt leżący poza prostą można poprowadzić dokładnie jedną prostą do niej równoległą.

Właśnie wątpliwości co do "oczywistości" piątego postulatu prowadziły przez wieki do prób jego udowodnienia z pozostałych czterech postulatów. Ostatecznie w XIX wieku Janos Bolyai i Nikolaj Łobaczewski wykazali, że możliwa jest spójna geometria bez piątego postulatu, co doprowadziło do narodzin geometrii nieeuklidesowych.

Wpływ "Elementów" na historię matematyki i nauki

"Elementy" stały się modelem, według którego przez wieki budowano teorie naukowe. Wzorzec Euklidesa, polegający na jasnym sformułowaniu założeń i ścisłym wyprowadzaniu z nich konsekwencji, wpłynął na fizykę (Isaac Newton w "Principia Mathematica" wzorował się na strukturze "Elementów"), filozofię (Baruch Spinoza napisał swą "Etykę" w sposób geometryczny, z definicjami, aksjomatami i twierdzeniami) i logikę.

W starożytności i średniowieczu "Elementy" były podstawowym podręcznikiem matematyki na całym obszarze cywilizacji śródziemnomorskiej. Tłumaczono je na łacinę, arabski, hebrajski i wiele innych języków. Arabskie tłumaczenia, powstałe w VIII-IX wieku w kręgu Domu Mądrości (Bait al-Hikma) w Bagdadzie, pozwoliły zachować dzieło w okresie, gdy część rękopisów greckich zaginęła.

Do Europy zachodniej "Elementy" powróciły w XII wieku poprzez łacińskie tłumaczenia z arabskiego, wykonane m.in. przez Adelarda z Bath. Od tego czasu stały się podstawą nauczania w europejskich szkołach katedralnych i na pierwszych uniwersytetach.

Recepcja i wydania "Elementów" przez wieki

Pierwsza drukowana edycja "Elementów" ukazała się w Wenecji w 1482 roku, zaledwie kilka dziesięcioleci po wynalezieniu druku przez Gutenberga, co świadczy o powszechnym zainteresowaniu tym dziełem w środowiskach naukowych epoki renesansu. Do końca XIX wieku ukazało się ponad tysiąc wydań w różnych językach świata.

Szczególne miejsce w historii "Elementów" zajmuje wydanie Roberta Simpsona z 1756 roku, które stało się standardowym podręcznikiem matematyki w anglojęzycznym świecie i było używane na wielu uniwersytetach jeszcze w XX wieku. W Polsce "Elementy" wydawano wielokrotnie, a geometria euklidesowa przez długi czas stanowiła podstawę szkolnego nauczania matematyki.

W drugiej połowie XIX wieku pojawiły się poważne analizy krytyczne "Elementów". Matematyk Moritz Pasch wykazał, że dowody Euklidesa zawierają pewne luki logiczne, wynikające z milczącego przyjmowania przez autora właściwości wynikających z rysunków, a niewynikających z samych aksjomatów. Pełne, rygorystyczne ugruntowanie geometrii euklidesowej przeprowadził David Hilbert w "Grundlagen der Geometrie" (1899), zastępując postulaty Euklidesa bardziej precyzyjnym systemem 20 aksjomatów.

Znaczenie "Elementów" dla współczesnej matematyki

Choć współczesna matematyka daleko wykroczyła poza zakres "Elementów", dzieło Euklidesa pozostaje żywe i aktualne. Metoda aksjomatyczna, którą Euklides zastosował jako pierwszy systematycznie, jest fundamentem całej współczesnej matematyki. Każda dziedzina matematyczna zaczyna się od zdefiniowania obiektów pierwotnych i aksjomatów, a następnie wyprowadza z nich twierdzenia.

Twierdzenia zawarte w "Elementach" wchodzą w zakres standardowego programu nauczania matematyki na poziomie szkoły podstawowej i średniej: twierdzenie Pitagorasa, twierdzenia o kątach w trójkącie, własności okręgów i wielokątów. Algorytm Euklidesa wyznaczania NWD jest jednym z podstawowych algorytmów informatyki.

Z perspektywy filozofii matematyki "Elementy" są klasycznym przykładem matematyki jako wiedzy a priori, dającej pewne i konieczne wyniki drogą czystego rozumowania. Ten status geometrii euklidesowej kwestionował Kant, a ostatecznie podważyły go geometrie nieeuklidesowe, co stało się jednym z ważnych impulsów do narodzin nowoczesnej filozofii matematyki.

Poprzednicy Euklidesa: tradycja, na której budował

Euklides nie tworzył w próżni. Tradycja historyczna i analiza treści "Elementów" wskazują, że znaczna część zawartego w nich materiału była znana wcześniejszym matematykom greckim. Euklides był jednak pierwszym, który zebrał te wyniki w systematyczny, aksjomatycznie zorganizowany traktat.

Wśród ważniejszych poprzedników Euklidesa wymienić należy:

• Tales z Miletu (ok. 624-546 p.n.e.) jako jeden z pierwszych matematyków greckich udowadniał twierdzenia geometryczne, choć jego metody były jeszcze dalekie od rygorystyczności Euklidesa
• Pitagoras i pitagorejczycy (VI w. p.n.e.) rozwinęli geometrię i teorię liczb, odkryli twierdzenie noszące dziś imię Pitagorasa (choć znane było wcześniej Babilończykom)
• Hippokrates z Chios (V w. p.n.e.) napisał pierwszy znany traktat geometryczny zatytułowany "Elementy", który stał się prawdopodobnie bezpośrednim wzorcem dla Euklidesa
• Platon i Akademia Platońska (IV w. p.n.e.) rozwinęli matematykę jako dyscyplinę filozoficzną i przyczynili się do doskonalenia metody dedukcyjnej
• Eudoksos z Knidos (ok. 390-337 p.n.e.) opracował teorię proporcji, którą Euklides umieścił w Księdze V, oraz metodę wyczerpywania, podstawę rachunku całkowego
• Teetetos z Aten (ok. 417-369 p.n.e.) badał wielkości niewymierne i bryły platońskie, materiał zawarty w Księgach X i XIII

Euklides znał i wykorzystał dorobek wszystkich tych matematyków, lecz jego własnym wkładem było stworzenie spójnego, logicznie zorganizowanego systemu, w którym każde twierdzenie zajmuje właściwe miejsce w hierarchii logicznej.

Geometrie nieeuklidesowe: co oznacza odrzucenie piątego postulatu

Przez ponad dwa tysiące lat matematycy próbowali dowieść piątego postulatu Euklidesa jako twierdzenia wyprowadzalnego z pozostałych czterech. Praca nad tym problemem zaowocowała paradoksalnym odkryciem: okazało się, że piąty postulat można zastąpić innymi założeniami, otrzymując równie spójne, choć zupełnie odmienne geometrie.

W 1829 roku rosyjski matematyk Nikolaj Łobaczewski opublikował "Wyobrażenia nowej geometrii", a niezależnie od niego węgierski matematyk Janos Bolyai ogłosił podobne wyniki w 1832 roku. Zastąpili piąty postulat twierdzeniem, że przez punkt poza prostą można poprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych do danej, otrzymując geometrię hiperboliczną (Łobaczewskiego-Bolyaia).

Bernhard Riemann w 1854 roku zaproponował geometrię sferyczną, w której przez punkt poza prostą nie można poprowadzić żadnej równoległej (analogicznie do geometrii na powierzchni kuli, gdzie "proste" to wielkie okręgi). W geometrii Riemanna suma kątów trójkąta jest większa niż 180 stopni.

Geometrie nieeuklidesowe przestały być abstrakcją, gdy Albert Einstein w ogólnej teorii względności (1915) wykazał, że rzeczywista przestrzeń-czas jest zakrzywiona przez masy i energię, a jej geometria jest geometrią Riemanna, nie Euklidesa. Tym samym "Elementy" Euklidesa okazały się opisem nie tyle rzeczywistej przestrzeni kosmicznej, ile przestrzeni fizycznej w dobrym przybliżeniu dla małych odległości.

Często zadawane pytania

Kiedy Euklides napisał "Elementy"?

"Elementy" powstały około 300 roku przed naszą erą, w czasie gdy Euklides działał w Aleksandrii za panowania Ptolemeusza I. Dokładna data napisania dzieła nie jest znana. Wiemy, że było ono cytowane i komentowane przez matematyków greckich już w III wieku p.n.e., co potwierdza jego starożytność. Oryginalne rękopisy nie przetrwały do naszych czasów, a tekst zachował się w późniejszych odpisach, z których najstarsze pochodzą z IX wieku naszej ery.

Ile twierdzeń zawierają "Elementy" Euklidesa?

"Elementy" zawierają łącznie 465 twierdzeń rozłożonych na trzynaście ksiąg. Pierwsze twierdzenie (I.1) dotyczy konstrukcji trójkąta równobocznego na danym odcinku, a ostatnie (XIII.18) porównuje boki pięciu brył platońskich wpisanych w tę samą kulę. Wszystkie twierdzenia są ściśle udowodnione, a każdy dowód odwołuje się wyłącznie do wcześniej ustalonych twierdzeń, postulatów i aksjomatów.

Co to jest piąty postulat Euklidesa i dlaczego jest ważny?

Piąty postulat (postulat równoległości) stwierdza, że jeśli prosta przecinająca dwie proste tworzy po jednej stronie kąty wewnętrzne sumujące się do mniej niż dwa kąty proste, to te dwie proste po przedłużeniu przetną się po tej samej stronie. Jest równoważny stwierdzeniu, że przez punkt poza prostą przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa. Postulat ten przez wieki uważano za zbyt skomplikowany, by być aksjomatem, i próbowano go wyprowadzić z pozostałych. Gdy w XIX wieku Bolyai i Łobaczewski pokazali, że bez niego możliwa jest spójna geometria, powstały geometrie nieeuklidesowe, które znalazły zastosowanie w ogólnej teorii względności Einsteina.

Czy "Elementy" zawierają błędy?

Tak, z perspektywy współczesnych standardów rygorystyczności "Elementy" zawierają pewne luki logiczne. Euklides niekiedy korzysta z własności wynikających z rysunku, a niewynikających z samych aksjomatów (np. zakłada, że dwa okręgi przecinają się, jeśli centra są w odpowiedniej odległości, choć nie wynika to z jego aksjomatów). Nie umniejsza to jednak geniuszu dzieła: przez ponad dwa tysiąclecia było ono wzorem precyzji, a luki zostały wypełnione dopiero przez Hilberta w 1899 roku.

Jakie inne dzieła napisał Euklides poza "Elementami"?

Euklides był autorem kilku innych pism matematycznych. "Data" to zbiór twierdzeń o figurach geometrycznych "danych" (zdeterminowanych) przez pewne warunki. "Optyka" stanowi geometryczne ujęcie teorii widzenia i jest jednym z pierwszych naukowych tekstów poświęconych percepcji wzrokowej. "Zjawiska" (Phaenomena) dotyczą astronomii sferycznej. Ponadto przypisuje mu się dzieła o sekcjach stożkowych i teorii liczb, które nie zachowały się w całości.

Czy "Elementy" były używane jako podręcznik szkolny?

Tak, "Elementy" przez ponad dwa tysiące lat były podstawowym podręcznikiem matematyki. W starożytności studiowano je w szkołach filozoficznych i w instytucjach naukowych takich jak Muzejjon. W średniowieczu były lekturą obowiązkową na europejskich uniwersytetach. W Anglii używano ich jako podręcznika szkolnego jeszcze w pierwszej połowie XX wieku. W Polsce geometria euklidesowa stanowiła i nadal stanowi podstawę programu nauczania matematyki w szkołach, choć dziś nie korzysta się bezpośrednio z tekstu Euklidesa, lecz z nowoczesnych podręczników opartych na jego osiągnięciach.